Ejercicio 108: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: PAU Andalucía 2010-junio
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2010/Ejercicio 5.4

Aunque este problema pertenece a una prueba de Selectividad de junio, realmente se trata de un ejercicio de tangencias y enlaces relacionado con los contenidos de 1º de bachillerato. No es muy difícil, y la obtención razonada de cada centro y punto de tangencia se aprecia claramente en la solución. La única duda que presenta el enunciado es saber si la recta que aparece en la parte inferior de la figura es tangente a las circunferencias de 20 y 30 mm de diámetro, o bien es la tangente a la mayor trazada desde el punto de corte de la menor con el eje vertical. En mi caso, he optado por la primera opción.

Ejercicio 107: Homología

Tema: Transformaciones geométricas
Autor: PAU Andalucía 2010-descartado
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Muy difícil
Archivo: Selectividad 2010/ Ejercicio 4.6

La afinidad transforma cualquier circunferencia en una elipse. En principio, cualquier par de diámetros perpendiculares de la misma se transformaría en dos conjugados de la elipse, como es el caso; pero es posible seleccionar previamente la pareja capaz de transformarse en los ejes de la elipse, que no son los dados en el enunciado. Para ello, y teniendo en cuenta la doble relación de arco capaz de 90º que se aprecia en la solución, se busca el punto de corte de la mediatriz del segmento OO' con el eje y se dibuja la circunferencia que pasa por ambos centros. Si unimos los puntos de corte de ésta y el eje con los centros obtendremos los dos diámetros de la circunferencia original que se transforman en ejes de la elipse.
Hecha esta consideración, el eje y la dirección de afinidad son bien sencillos de obtener, y la elipse se puede determinar de varias formas. En este caso se ha optado por buscar sus puntos aplicando la definición: puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos sea al eje mayor.

Ejercicio 106: Homología

Tema: Transformaciones geométricas
Autor: PAU Andalucía 2010-septiembre
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2010/ Ejercicio 2.3

El baricentro de un triángulo tiene la propiedad de distar de cada vértice 2/3 de la longitud de la mediana, y 1/3 del punto medio de cada lado. Teniendo esta propiedad en cuenta, es sencillo hallar el vértice C que completa el polígono.
El eje y el centro de homología se pueden determinar teniendo en cuenta las dos propiedades fundamentales de esta transformación: los puntos homólogos se encuentran alineados con el centro (V) y los lados homólogos se cortan en el eje de homología.
Teniendo en cuenta las propiedades anteriormente enunciadas, será fácil completar la transformación.

Ejercicio 105: Trazado geométrico

Tema: Ampliación de polígonos y escalas
Autor: PAU Andalucía 2010-descartado
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2010/ Ejercicio 6.4

El incentro (Ic) del triángulo es el punto de corte de las bisectrices de cada ángulo. Para dibujar la circunferencia inscrita conviene determinar  previamente los puntos de tangencia de la misma con cada lado.
El circuncentro (Cc) es el punto de corte de las mediatrices de los lados. La circunferencia circunscrita pasa por los tres vértices.
El baricentro (Bc) es el punto de corte de las medianas (rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto).
El centro de la circunferencia que pasa por los tres puntos anteriores, se encuentra en el punto de corte de las mediatrices de los segmentos que los unen.