Ejercicio 141: Trazado geométrico

Tema: Generalización de las tangencias
Autor: PAU Andalucía 2011-septiembre
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Muy fácil
Archivo: Selectividad 2011/Ejercicio 3.6

Ejercicio 111: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: PAU Andalucía 2010-descartado
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2010/Ejercicio 1.3

El ejercicio consiste en realizar una serie de arcos de circunferencias que enlacen entre sí, a partir de los datos dados. Para obtener cada centro hay que tener en cuenta que debe estar alineado con el centro anterior y el punto de tangencia, además de estar situado en la mediatriz de los dos puntos que sirven de inicio y final de cada arco.
La segunda curva comparte los mismos centros.

Ejercicio 110: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: PAU Andalucía 2010-junio
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Fácil
Archivo: Selectividad 2010/Ejercicio 2.6

Quizá sea un ejercicio demasiado simple para formar parte de una prueba de Selectividad, pero queda aquí para practicar un par de casos básicos de tangencias de 1º de Bachillerato. Para solucionar el primer apartado determinaremos el centro como punto de corte de una circunferencia concéntrica a la dada, incrementada en 27 mm, el radio pedido, con una paralela a idéntica distancia. Los puntos de tangencia se encuentran en la unión de los centros y la perpendicular a la recta.
Para obtener la recta tangentes a ambas necesitamos de una circunferencia auxiliar cuyo radio sea la resta de ambos. Las tangentes desde el otro centro a la auxiliar es paralela a la que se pide. Los puntos de tangencia se determinarán mediante perpendicularidad respecto a dicha recta.

Ejercicio 108: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: PAU Andalucía 2010-junio
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2010/Ejercicio 5.4

Aunque este problema pertenece a una prueba de Selectividad de junio, realmente se trata de un ejercicio de tangencias y enlaces relacionado con los contenidos de 1º de bachillerato. No es muy difícil, y la obtención razonada de cada centro y punto de tangencia se aprecia claramente en la solución. La única duda que presenta el enunciado es saber si la recta que aparece en la parte inferior de la figura es tangente a las circunferencias de 20 y 30 mm de diámetro, o bien es la tangente a la mayor trazada desde el punto de corte de la menor con el eje vertical. En mi caso, he optado por la primera opción.

Ejercicio 57: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: Editorial Edebé
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Muy difícil
Archivo: Ejercicios editoriales 05

Se trata de un ejercicio laborioso, pues a la dificultad de dibujar cada pala de la hélice se añade la de tener que hacerlo por cuadruplicado, e incluso, la de identificar los casos de tangencia que se proponen; que son: enlace desde un punto a una circunferencia (de radio 15 mm), circunferencia de radio 30 tangente a la de 42 y tangente desde un punto a la de radio 30.
Como siempre, todo esto quedará más claro si se consulta la solución.

Ejercicio 56: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: Editorial Edebé
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Ejercicios editoriales 04

El ejercico propuesto es una aplicación de enlaces entre circunferencias. Los centros deben obtenerse de forma razonada, teniendo en cuenta que distarán de las circunferencias dadas la suma (o resta, dependiendo del caso) de los radios que intervienen. Para obtener los puntos de tangencia, se recuerda que deben encontrarse alineados con sus centros.

Ejercicio 55: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: Editorial Edebé
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Fácil
Archivo: Ejercicios editoriales 03

Nos encontramos con un ejercicio propuesto por la editorial Edebé que se adapta a los primeros casos que se estudian en 1º de Bachillerato. En este problema tendremos que resolver: cuadrado girado de lado conocido y enlaces entre rectas y circunferencias. Como en cualquier ejercicio de tangencias, hay que obtener razonablemente cada centro y punto de tangencia de la figura.

Ejercicio 54: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: Alejandro Muñoz
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Ejercicios propios 06

Se trata de un problema de tangencias y enlaces relacionado con los primeros casos que se estudian: circunferencia que pase por un punto y sea tangente a una recta, tangente a una recta paralela a una dirección, tangente a una circunferencia desde un punto exterior y tangente interior a dos circunferencias. En cualquier caso, se deben obtener razonadamente cada centro y punto de tangencia de la figura.

Ejercicio 50: Trazado geométrico

Tema: Generalización de las tangencias
Autor: PAU Andalucía 2009-junio
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Difícil
Archivo: Selectividad 2009/Ejercicio 3.4

Para trazar los enlaces entre la circunferencia y la recta R, se dibuja la recta OT' que contiene a los centros de ambas soluciones y su perpendicular por el punto dado. Las bisectrices de esta última con la recta R determinan los centros de los dos enlaces.
Para trazar los enlaces entre la circunferencia y la recta S, se dibuja por T'' la perpendicular que contiene a los centros de ambas soluciones. Si llevamos sobre ella el radio de la circunferencia dada, obtendremos dos puntos cuyas mediatrices de su unión con el centro O cortan a la perpendicular en los otros dos centros.
A continuación se determinan los puntos de tangencia y se dibujan los arcos de enlace. Como no se especifica nada al respecto, se ha dibujado en cada caso el más pequeño.

Ejercicio 49: Trazado geométrico

Tema: Generalización de las tangencias
Autor: PAU Andalucía 2003-septiembre
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2003/Ejercicio 2.2

Se trata de un problema de tangencias y enlaces relacionado con los contenidos de 1º de bachillerato, aunque se etiqueta como de "segundo curso" porque se pide a escala. Esa es una de sus dificultades, junto al despiste que muestran muchos alumnos al no indicar cómo se determianan razonadamente los centros y puntos de tangencia existentes. Además, la duración del examen (90 minutos para 3 ejercicios) añaden más dificultad al ejercicio.

Ejercicio 20: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: PAU Andalucía 2007-descartado
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2007/Ejercicio 1.3

Es un ejercicio sencillo. Su única dificultad radica en que existen hasta seis soluciones diferentes.
Para buscar el centro de cada una de ellas debemos trazar dos paralelas a la recta dada a 20 mm. y dos circunferencias concéntricas de radio el dado más (y menos) 20 mm. que se cortarán en los seis puntos que solucionan el problema.
Antes de dibujar las circunferencias debemos buscar los puntos de tangencia teniendo en cuenta que los de enlace con la recta estarán en la perpendicular trazada desde cada centro y los de las circunferencias en la unión entre los mismos.

Ejercicio 18: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: PAU Andalucía 2005-descartado
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Fácil
Archivo: Selectividad 2005/Ejercicio 6.4

Es un ejercicio muy sencillo, demasiado para su puntuación; de esos que os gustaría encontrar en vuestro examen de selectividad. Una vez dibujados los datos, sólo hay que resolver dos problemas de tangencias.
Para obtener el centro de los arcos de 67.5 tangentes; desde el centro de diámetro 30 y desde el de 60, se trazan sendos arcos de radios los dados más 67.5 unidades.
Para obtener las rectas tangentes a las dos circunferencias dadas; se ha optado por restarle a la mayor el radio de la menor y resolver las rectas tangentes a esta circunferencia auxiliar desde el centro de la menor, que son paralelas a las tangentes que buscamos.
Antes de dibujar los arcos y rectas tangentes, determinamos los puntos de tangencia.

Ejercicio 17: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: PAU Andalucía 2007-descartado
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Fácil
Archivo: Selectividad 2007/Ejercicio 5.4

Se trata de un ejercicio bastante sencillo, sobre todo si consideramos su puntuación respecto al total del examen. Una vez se han dibujado los datos a la escala que se pide (es tan simple como multiplicar por dos las medidas dadas), sólo tenemos que resolver dos problemas de tangencias, teniendo en cuenta que entre ambas formas curvas existe una distancia constante de 7 unidades.
Para obtener el centro del arco de 17.5 tangente; desde cada punto dado dibujamos dos arcos de circunferencia de radio el dado más 17.5 unidades. Este punto es también centro del otro arco a dibujar.
Para obtener el centro del arco de radio 40 tangente; desde cada punto dado trazamos un arco de radio 40 unidades menos las medidas dadas. Este punto también es centro de otro de los arcos.
Antes de dibujar cada uno de los cuatro arcos que completan la figura, debemos determinar los puntos de tangencia. Tendremos en cuenta que el punto de tangencia de dos circunferencias tangentes se encuentra en la recta que une a ambos centros.

Ejercicio 1: Trazado geométrico

Tema: Circunferencia. Tangencias y enlaces
Autor: PAU Andalucía 2007-descartado
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Difícil
Archivo: Selectividad 2007/Ejercicio 6.4

Se trata de un problema de tangencias y enlaces relacionado con los contenidos de 1º de bachillerato. Desde mi punto de vista esa es su máxima dificultad, ya que muchos alumnos se olvidan de como se determianan razonadamente los centros y puntos de tangencia existentes. Además, la duración del examen (90 minutos para 3 ejercicios) y el aula donde se realiza la prueba (y sus mesas poco adecuadas para el dibujo) añaden más dificultad al ejercicio.