Tema: Axonometría y perspectiva cabellera
Autor: PAU Castilla y León 2006-septiembre
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2006/Castilla-León
La pieza escogida para hoy no tiene un grado de dificultad elevado, salvo que a primera vista puede confundirnos el hueco que tiene al final de la rampa. Como siempre aconsejo dibujar primero un croquis a mano alzada que ayude a su entendimiento, a partir del cual será más rápido dibujar después la perspectiva definitiva.
Se puede comenzar por el prisma envolvente de la figura teniendo en cuenta que hay que aplicarle al eje Y un coeficiente de reducción de 0.75 (3/4). En la Selectividad de Andalucía se permite utilizar calculadora y yo mismo aconsejo a mis alumnos que la lleven al examen para tratar de ganar tiempo. Como son pocas las medidas afectadas por este coeficiente he preferido resolverlo gráficamente por el Teorema de Thales, teniendo en cuenta que lo que mida 4 en la vista debe convertirse en 3 en la perspectiva.
Con ayuda del croquis se completa la perspectiva con las plantillas y el compás se puede usar para tomar medidas. Por último no se debe pasar por alto el dibujo de las líneas ocultas que se pide en el enunciado, quizás la parte más confusa del ejercicio.
Tema: Axonometría y perspectiva cabellera
Autor: PAU Castilla y León 2006-septiembre
Curso: 1º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2006/Castilla-León
Acabadas mis clases ordinarias con 2º de Bachillerato y a la espera de la Selectividad, traigo estas semanas ejercicios del nivel del primer curso. En las PAU de Andalucía no se pregunta el Dibujo Isométrico consistente en una Isometría que no aplica los coeficientes de reducción. Por eso el ejercicio de hoy es de Castilla y León y es útil para completar los ejemplos de nuestro libro de la Editorial Casals, que trabaja este tipo de perspectiva en 1º de Bachillerato.
La pieza no es muy compleja pero hay que tratar de entender bien los planos inclinados que contiene. Como siempre, recomiendo dibujar previamente un croquis a mano alzada que ayude a resolver el dibujo en la posición indicada.
Unos amigos, compañeros de un instituto de Prado del Rey (Cádiz), me han pedido que les escriba estas líneas para conmemorar, el 12 de mayo, el Día Mundial de las Matemáticas. Sé que personalidades de todo el mundo han recibido el mismo encargo y tengo pocas opciones de competir con ellos. Creo que este texto nace para quedar colgado de un panel en la esquina más lejana de la exposición. Dudo sobre cómo captar vuestra atención. Releo la carta, quieren que os hable de lo que aportan las Matemáticas a mi vida, que recomiende algún libro o que haga cualquier aportación que pueda ser interesante. Es indudable que las Matemáticas aportan a mi familia algo importante, son parte de nuestro sustento económico. Por cierto, no me he presentado; soy Alejandro Muñoz, arquitecto y profesor de Dibujo Técnico y Matemáticas de un colegio de Sevilla. Respecto al libro; ¡cómo no!, les voy a recomendar "El diablo en los números" de Hans Magnus Enzensberger sabiendo que aparecerá citado por personas más ilustres. Al menos yo tendré la modestia de reconocer que no lo he leído todavía. Me ha interesado más la petición: "cualquier otra aportación que considere a bien explicar" escrita en la carta. Sobre eso he decidido hablaros hoy. Para empezar, las Matemáticas me permiten contestar a mis amigos, Ana y Juan, sin necesidad de usar papel. Gracias al desarrollo de los lenguajes de programación que en su día desarrollaron esos grises matemáticos puede mi carta no quedar relegada a pender de una grapa en un corcho. He decidido usar esta entrada en mi blog, "Cuaderno de Dibujo Técnico", como contestación. La mayoría de los alumnos que quieran leerme conocerán las películas de animación desde antes de tener uso de razón. Toy Story, estrenada en 1995, es el primer largometraje realizado íntegramente por ordenador. ¿Qué papel jugaron las Matemáticas en su realización? Como veréis a continuación, yo diría que uno decisivo. Para comprender el proceso de realización de una animación creada íntegramente por ordenador nos podemos ayudar de la imagen que figura junto al texto. Está creada por el artista Carlos Agell y si la seleccionáis, la podréis ver más grande. A mi me sirve para explicaros someramente cómo se crea un personaje de ficción. En la parte inferior se aprecia que el brazo está construído únicamente por polígonos (triángulos y cuadriláteros). Los programas de animación son capaces de almacenar en su memoria las coordenadas espaciales (x, y, z) de cada vértice y devolvernos la imágen virtual de algo que realmente no existe. El modelado de aspecto más real se consigue convirtiendo los polígonos en superficies curvadas llamadas nurbs. Además, es fundamental la simulación de la luz. Cualquier objeto puede parecer completamente plano si no está bien iluminado. Las cualidades y el comportamiento de la luz siguen leyes físicas que un programa de 3D puede simular matemáticamente mediante el uso de rayos de luz que rebotan en las paredes y objetos dispuestos en una escena hasta iluminarlos. Por último, y para que el personaje esté acabado se le asigna una textura, que es como una piel que se pega al objeto con unas características que definen sus aspecto exterior. En derfinitiva, hemos visto que este brazo, por muy complejo que sea, se puede formar por unión de miles de polígonos y que podremos darle un acabado metálico o el de un muñeco de peluche. Seguro que habéis usado alguna vez un programa de retoque fotográfico y habéis comprobado como los colores se descomponen en una mezcla numérica de varios parámetros. Son también los números los que hacen que una superficie sea lisa, más o menos reflectante, o que tenga sus puntos desplazados respecto al polígono que la define para conferirle un aspecto rugoso o peludo. Variando estos parámetros numéricos, el robot podría parecer de peluche. Forma, color, textura o iluminación están controlados por ellos. Pero, ¿cómo se convierte una imagen estática en una escena animada de una película? Pues, como no, mediante ecuaciones matemáticas. Algunas de ellas se encargarán de deformar los vértices de los polígonos consiguiendo darle expresividad a un rostro. Otras desplazarán a los personajes o harán que muevan alguna parte de su cuerpo. Es verdad que todo esto es muy complejo, que necesitamos millones de ecuaciones para completar un pequeño movimiento dentro de una escena, pero para eso se inventaron los ordenadores, para ayudarnos a hacer esos cálculos imposibles. Pensad que detrás de tanta complejidad siempre hay ideas muy simples, como la descomposición poligonal de la forma más compleja que podáis imaginar. Termino mi explicación con un ejemplo real de lo expuesto. A continuación podréis ver un cortometraje de Pixar, los auténticos mestros de la animación. Si le echáis un vistazo pensad que lo que veréis nos es más que un baile infinito de cifras. Puede tratarse de una de las aplicaciones de las Matemáticas más sorprendentes que conozco, el conseguir que un personaje de ficción se estire hasta límites imposibles o que su rostro adopte una expresión que hasta hace tiempo sólo era posible en los dibujos animados. Cuando veo una película de este tipo, como Presto, además de disfrutarla pienso que detrás de ella hay millones de calculos numéricos que son los responsables de generar una escena con personajes en movimiento según una sinfonía agotadora de ecuaciones capaz de dar forma, en una pantalla, a la idea que antes residía en la mente de un genio. Estos artistas han podido hacer realidad sus proyectos gracias a las Matemáticas.
Nota. El libro, la imagen y la animación deben estar protegidos por sus derechos de autor. Se ha citado su procedencia y su uso en este artículo tiene fines pedagógicos.
Tema: Normalización Autor: PAU Andalucía 2007-descartado Curso: 2º de Bachillerato Nivel: Medio Archivo: Selectividad 2007/Ejercicio 6.2
Los cortes y secciones nunca suelen ser ejercicios demasiado difíciles, pero tienen el inconveniente de que se les dedica poco tiempo durante el curso. Sirven para entender el interior de una pieza que tenga algún hueco, algo difícil de ver en las vistas convencionales. Lo primero será tratar de comprender la geometría de la pieza y su relación con el plano que la corta. En caso de duda conviene hacer un croquis en perspectiva que ayude a su entendimiento. El corte se dibuja como si fuese una vista más, teniendo en cuenta que no se representan las líneas ocultas y que la parte de la sección se rayará con líneas auxiliares oblicuas y paralelas. Por último, si lo pide el enunciado, se acota la pieza repartiendo las cotas por las vistas y disponiendo los elementos de acotación de acuerdo con los criterios de la normalización.
Tema: La perspectiva cónica Autor: PAU Andalucía 2000-junio Curso: 2º de Bachillerato Nivel: Medio Archivo: Selectividad 2000/ Ejercicio 1.4
La mayoría de las piezas que se preguntan en perspectica cónica son volúmenes de fácil comprensión. Con un poco de práctica no son difíciles de dibujar. Por estar girada la planta respecto a la L.T. se trata de una perspectiva oblicua. Los focos se obtienen trazando sendas paralelas a las direcciones principales de la planta desde el punto (V) que cortan a L.H. Comenzamos por dibujar la planta en perspectica. Hay varios métodos y puede resultar sencillo considerar que entre la planta abatida y en perspectiva hay una relación de homología donde el centro es (V) y el eje es L.T. En caso de duda, es útil ayudarse de los puntos de fuga. Para levantar el volumen sabemos que podemos medir en verdadera magnitud sobre la arista coincidente con L.T. El resto de aristas se completan mediante líneas concurrentes trazadas desde los focos y se toma como vertical la dirección perpendicular a L.T. El proceso de dibujo es similar a la perspectiva axonométrica, teniendo en cuenta que dos de las direcciones principales (X e Y) son convergentes y la tercera (Z) es paralalela al eje vertical.
Tema: Axonometría y perspectiva cabellera
