Ejercicio 125: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2010-junio
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Fácil
Archivo: Selectividad 2010/Ejercicio 5.5

Las proyecciones de la esfera son directas, dos circunferencias de radio 35 mm.
El plano provoca en la esfera una sección circular, que se ve como elipse en la proyección horizontal. Los puntos de contacto de la traza vertical con el contorno circular se corresponden con el eje mayor (34), y el menor (12), transversal al anterior, debe coincidir con su punto medio. También conviene determinar los puntos de tangencia (T) de la elipse con el contorno circular de la proyección horizontal.
Como ya se ha dicho, la sección plana es una circunferencia que se dibuja en verdadera magnitud mediante abatimiento del plano que la contiene.

Ejercicio 124: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2010-septiembre
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2010/Ejercicio 2.1
Las proyecciones de la circunferencia y del cono son directas, como se puede apreciar en la solución del ejercicio.
Para que un plano que secciona a un cono origine una sección parabólica, debe ser paralelo a alguna generatriz del cono. Una vez obtenida la proyección vertical del punto A dibujaremos la traza vertical paralela a la generatriz que conforma el contorno del cono por su derecha. Obviamente, la traza horizontal debe ser perpendicular a la línea de tierra.
La proyección horizontal de la parábola se obtiene bajando puntos de la sección (traza P') mediante pertenencia a generatrices o por secciones circulares, según se prefiera. La verdadera magnitud se obtiene mediante abatimiento.

Ejercicio 123: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2010-descartado
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2010/Ejercicio 1.1

El plano P que contiene a la figura es proyectante vertical, por ser la proyección vertical de la figura una recta.
La verdadera magnitud del triángulo se determina mediante abatimiento, sobre el plano horizontal en este caso.
Para dibujar la circunferencia inscrita determinaremos el incentro (punto de corte de las bisectrices) en el abatimiento. Su proyección horizontal es una elipse cuyos ejes son paralelos y perpendiculares a la traza del plano. La proyección vertical se verá según una recta.
El vértice del cono está en una perpendicular al plano (proyecciones de la recta perpendiculares a las trazas del plano) dibujada desde el centro de la circunferencia. Al ser esta recta frontal, podremos medir la verdadera magnitud de la altura en la proyección vertical.

Ejercicio 122: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2010-junio
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Difícil
Archivo: Selectividad 2010/Ejercicio 5.1

A partir de las trazas abatidas de un plano se pueden restituir sus proyecciones diédricas. En caso de dificultad, el análisis de un simple croquis del abatimiento de las trazas nos dará la pista para saber hacerlo en orden inverso. Una vez tengamos P', solo nos quedará dibujar Q' paralela a ella.
Para obtener las proyecciones del cuadrado llevaremos el lado AB al abatimiento, donde lo podremos dibujar en verdadera magnitud para desabatirlo posteriormente.
La altura del prisma debe de ser la distancia que existe entre ambos planos. Si los colocamos proyectantes la veremos en verdadera magnitud. Como es regular, las aristas laterales serán perpendiculares a las bases (perpendicularidad que se conservará también entre las proyecciones). Una vez obtenidos los cuatro vértices que cierran la figura, la representaremos con partes vistas y ocultas. En proyección horizontal no es visto B por ser el punto de menor cota (lo oculta el resto de la figura) y en la vertical no veremos A, que es el de menor alejamiento y, por tanto, más lejano al punto de vista del observador.

Ejercicio 121: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2010-descartado
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2010/Ejercicio 4.1

Para dibujar el cuadrado, abatiremos el plano y el segmento AB que define su lado. A partir de éste lo dibujaremos en verdadera magnitud y posteriormente desabatiremos sus proyecciones.
Al ser una pirámide regular, su vértice se encontrará en una perpendicular a la base por su punto medio. Éste lo obtendremos rápidamente buscando el punto de corte de sus diagonales, y el vértice donde la perpendicular por el punto anterior corte al plano horizontal. Para finalizar, representaremos las proyecciones de la pirámide representando sus partes vistas y ocultas.

Ejercicio 78: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: Alejandro Muñoz
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Ejercicios propios 13

Para dibujar las proyecciones de la esfera necesitamos colocar el plano P proyectante, mediante cambio de plano, y resolver el problema de tangencias planteado.
Al ser la recta paralela al primer bisector, las proyecciones deben formar idéntico ángulo con la línea de tierra sin ser paralelas entre sí... además de contener al punto indicado.
La intersección se determina en este caso con ayuda de la sección plana que provocaría en la esfera un plano proyectante vertical que contenga a la recta R.
Para finalizar, se deben representar las partes vistas y ocultas de la intersección.

Ejercicio 77: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2009-junio
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Difícil
Archivo: Selectividad 2009/Ejercicio 3.1

Aunque no suela ser la forma habitual de resolverlo, aconsejo que las proyecciones diédricas de la circunferencia (elípticas en ambos casos) se resuelvan mediante doble abatimiento. De esta forma resulta menos liosa la determinación de los ejes de cada elipse que posibilitan su trazado por el método de la tarjeta y no se hace necesario su dibujo mediante el engorroso método de los diámetros conjugados, como sería el caso de no haber planteado el segundo abatimiento.
Las proyecciones de la esfera son bastante más sencillas. Su centro coincide con el de la sección circular ya dibujada y su radio está en verdadera magnitud en cualquiera de los abatimientos.
Aunque no sea la unica forma posible de hallar el diámetro CD, perpendicular al plano, se opta por hacerlo con cambio de plano, mediante pertenencia a la sección máxima o contorno de la nueva proyección.

Ejercicio 76: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2009-descartado
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Fácil
Archivo: Selectividad 2009/Ejercicio 5.1

Al pertenecer el punto O al primer bisector, tiene idéntica cota y alejamiento.
Para obtener las trazas del plano P necesitaremos de la proyección de perfil. Con la ayuda de esta podremos obtener también los ejes de las elipses que conformarán la base del cono y su altura.
Cuando se dibujen las proyecciones diédricas del cono no debemos olvidar las partes vistas y ocultas de la figura.

Ejercicio 75: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2009-septiembre
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Fácil
Archivo: Selectividad 2009/Ejercicio 2.1

Las proyecciones diédricas de la figura son bien sencillas. La planta cuadrada se dibuja en verdadera magnitud en proyección horizontal y la altura se puede medir en la vertical. Sus vistos y ocultos tampoco añaden dificultad alguna.
Para determinar la sección plana se necesita de cambio de plano, ya que P no es proyectante. De las dos posibilidades, se aconseja un cambio vertical por lo sencillo que resulta obtener su nueva proyección vertical. Una vez que obtengamos la nueva traza del plano procederemos a dibujar la sección requerida con vistos y ocultos.

Ejercicio 74: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2009-descartado
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Normal
Archivo: Selectividad 2009/Ejercicio 6.1

Para dibujar la base de la pirámide abatimos el plano P que la contiene, así como el centro y el punto A que hace de vértice. Sobre el abatimiento dibujamos el hexágono regular de centro (O) en el que (A) es uno de sus vértices y desabatimos hasta obtener las proyecciones diédricas de la base.
Para obtener el vértice dibujamos por el centro una recta perpendicular al plano P (por ser pirámide regular). Como se trata de una recta oblicua, no podremos medir la distancia de 60 mm si no aplicamos giro o cambio de plano, como es el caso.
Por último, representaremos las aristas con vistos y ocultos.

Ejercicio 73: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2008-junio
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Muy difícil
Archivo: Selectividad 2008/Ejercicio 5.1

Se trata de una peculiar forma de preguntar por un prisma a la que se recurre con frecuencia en la selectividad de Andalucía. En este caso sus bases tienen forma de cruz y se presenta apoyado sobre una de sus caras laterales. Las proyecciones de la figura están dadas y se pide su intersección con un plano oblicuo y la verdadera magnitud.
Para resolverlo se aplica cambio de plano para que el corte se vea proyectante. De las dos opciones posibles se aconseja conservar la proyección del plano de apoyo de la figura (el horizontal en este caso). Tras obtener las nuevas proyecciones del prisma se determina la intersección y sus proyecciones y por último se abate el plano (el oblicuo o el proyectante) para determinar la verdadera magnitud de la sección.
La dificultad radica sobre todo en el tiempo que se necesita para resolverlo y el espacio escaso para dibujar las proyecciones auxiliares.

Ejercicio 72: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2008-septiembre
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2008/Ejercicio 1.1

si observamos la figura, comprenderemos que se trata de un prisma regular de base cuadrangular apoyado sobre el plano horizontal, perforado por una pirámide regular invertida de base cuadrangular. La sección que se pide es con un plano paralelo a la línea de tierra, por lo que se puede determinar con facilidad mediante la vista de perfil del conjunto.
Para dibujar la verdadera magnitud de la sección plana realizaremos un abatimiento sobre el plano horizontal.

Ejercicio 35: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2007-junio
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Fácil
Archivo: Selectividad 2007/Ejercicio 4.1

El plano P, proyectante horizontal, tiene su traza vertical perpendicular a LT.
La proyección de la esfera debe ser tangente a la LT y a la traza horizontal del plano.
Los puntos de tangencia y el centro son fáciles de obtener.
Para determinar la intersección de la esfera con la recta R nos ayudamos de la sección plana circular que provoca el plano horizontal que contiene a la recta.

Ejercicio 34: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2007-junio
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Fácil
Archivo: Selectividad 2007/Ejercicio 4.5

Al ser el plano P proyectante vertical, la sección plana se obtiene de forma directa. La única dificultad la encontramos en que el punto 2 está situado en la arista de perfil VB. Para obtener su proyección horizontal hemos recurrido a la tercera proyección (a la izquierda del dibujo).
Para determinar la verdadera magnitud de la seción abatimos sobre el plano horizontal de proyección.

Ejercicio 33: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2008-descartado
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2008/Ejercicio 5.1

La traza vertical del plano se obtiene desabatiendo P, que se ha dado abatido sobre el horizontal de proyección.
Las proyecciones del cuadrado se desabaten directamente en proyección horizontal y se llevan hasta la vertical por pertenencia de cada vértice al plano.
Para dibujar el prisma trazaremos desde cada vértice del cuadrado una arista lateral perpendicular al plano P y mediremos su altura de 80 mm. mediante cambio de plano. La representación de la figura se debe hacer con vistos y ocultos.
Para dibujar la esfera circunscrita debemos determinar primero el centro O de la figura. Su radio será la distancia que lo separe de cualquiera de los vértices del prisma. Como esta distancia no está en verdadera magnitud en ninguna de las proyecciones se ha calculado mediante cambio de plano (directo) de la distancia OD.

Ejercicio 5: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2007-descartado
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Fácil
Archivo: Selectividad 2007/Ejercicio 3.1

Tras completar la proyección vertical del cono se representa la sección que el plano proyectante horizontal P provoca en la superficie.
Por ser P un plano capaz de cortar a las dos ramas de la superficie cónica de revolución, su sección debe ser doble y abierta. Se trata por tanto de una rama de hipérbola.
Para dibujarla pasamos los puntos que consideremos necesarios a la proyección vertical. El vértice de la hipérbola está en el punto medio (3) de los puntos de corte del plano con la base (1 y 6). El punto 5 se obtiene mediante una sección circular y también conviene buscar el punto T de tangencia entre la cónica y el contorno en proyección vertical.
En caso de haber sido la sección resultante una parábola se habría procedido de igual forma.

Ejercicio 4: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2007-descartado
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Medio
Archivo: Selectividad 2007/Ejercicio 6.1

De acuerdo con mi compromiso de publicar cada semana un ejercicio resuelto de Selectividad hasta que finalice el curso, llego a este Lunes Santo. Como no podría ser de otra forma desde Sevilla, propongo el dibujo de las proyecciones diédricas de un capirote de nazareno (cono recto de revolución para los no iniciados temas cofrades).
Una vez determinada la proyección que falta del diámetro se dibuja la circunferencia apoyada en el plano oblícuo mediante abatimiento. Teniendo en cuenta que los ejes de ambas elipses son paralelos y perpendiculares respectivamente a las trazas del plano, se desabaten y se dibuja cada cónica por el método de la tarjeta.
Para buscar el vértice se cambia de plano la recta perpendicular a la base trazada por el centro de la circunferencia y se mide en la nueva proyección su altura en verdadera magnitud. Completamos la figura con las tangentes (a ojo) desde el vértice a cada una de las elipses y se representan los vistos y ocultos.

Ejercicio 3: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2005-junio
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Muy difícil
Archivo: Selectividad 2005/Ejercicio 4.1

Con este ejericio conoceréis la particular visión de los prismas que tienen los examinadores de la selectividad en Andalucía. Este tipo de problema se viene repitiendo en las últimas pruebas y consiste en un prisma acostado sobre una de sus caras laterales, hueca en su interior (como en este caso) o de base irregular. Las proyecciones de la figura están dadas y se pide siempre su intersección con un plano oblícuo y su verdadera magnitud.
Para resolverlo se aplica cambio de plano para que el corte se vea proyectante. De las dos opciones posibles se aconseja conservar la proyección del plano de apoyo de la figura (el horizontal en este caso). Tras obtener las nuevas proyecciones del prisma se determina la intersección y sus proyecciones y por último se abate el plano (el oblícuo o el proyectante) para determinar la verdadera magnitud de la sección.
La dificultad radica sobre todo en el tiempo que se necesita para resolverlo y el espacio escaso para dibujar las proyecciones auxiliares. En estos casos siempre recomiendo a mis alumnos que miren bien la otra opción del examen por si creen que pueda ser más asequible.

Ejercicio 2: Sistema diédrico

Tema: Superficies radiales
Autor: PAU Andalucía 2007-descartado
Curso: 2º de Bachillerato
Nivel: Difícil
Archivo: Selectividad 2007/Ejercicio 5.1

Se trata del trazado de una pirámide regular de base hexagonal apoyada en un plano paralelo a LT. En principio esto no debe suponer demasiada dificultad pero el abatimiento de este tipo de planos se trabaja muy poco (más bien nada) en los libros de texto y puede despistar a más de un alumno.
Para resolverlo partimos del segmento de perfil AB, recta de máxima pendiente de un plano paralelo a LT y mediante abatimiento sobre el plano vertical se dibujan las proyecciones del hexágono regular de diagonal dada. Por su centro trazamos una recta perpendicular al plano y se mide la altura del vértice en VM en la proyección de perfil. Las proyecciones de la pirámide se completan distinguiendo entre partes vistas y ocultas.